Catatan Tambahan: Teorema Stoke

Tinjau suatu medan vektor dalam koordinat kartesian yang dinyatakan dengan $\vec{V}=V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}$, ungkapan rotasi medan vektor tersebut dinyatakan sebagai berikut
\begin{align}
\vec{\nabla}\times\vec{V} & =\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times\left(V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}\right)\nonumber \\
& =\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial y}-\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)\hat{k}\label{eq:curl-kartesian}
\end{align}

Tinjau suatu permukaan berbentuk persegi pada bidang $xy$ yang berukuran $\Delta x\times\Delta y$. Vektor satuan arah normal permukaan ini adalah $\hat{k}$. Permukaan ini mempunyai sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu koordinat. Sisi yang sejajar sumbu $y$ berada pada $x=x_{0}$ dan $x=x_{0}+\Delta x$, sementara sisi yang sejajar sumbu $x$ berada pada $y=y_{0}$ dan $y=y_{0}+\Delta y$. Lintasan tertutup yang membatasi permukaan persegi tersebut dapat dipandang sebagai empat buah garis lurus. Elemen lintasan dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan
dengan $d\vec{l}=dx\hat{i}+dy\hat{j}$. Lintasan pertama yaitu segmen garis yang menghubungkan titik $\left(x_{0},y_{0}\right)$ dengan titik $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)$. Untuk segmen garis lainnya, yaitu segmen dua (menghubungkan tititk $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)$ dengan $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)$), segmen tiga (menghubungkan tititk $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)$ dengan $\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)$), segmen empat (menghubungkan tititk $\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)$ dengan $\left(x_{0},y_{0}\right)$).
Dot product medan vektor $\vec{V}$ dengan vektor $d\vec{l}$ akan memberikan
\[
\vec{V}\cdot d\vec{l}=\left(V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}\right)\cdot\left(dx\hat{i}+dy\hat{j}\right)=V_{x}dx+V_{y}dy
\]
Dengan demikian integral garis pada lintasan tertutup berupa persegi tersebut dengan medan vektor $\vec{V}$ adalah
\begin{align*}
\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l} & =\underset{\text{segmen 1}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)+\underset{\text{segmen 2}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)\\
& +\underset{\text{segmen 3}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)+\underset{\text{segmen 4}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)\\
& =\underset{\substack{x=x_{0},\\
y=y_{0}
}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}V_{x}dx+\underset{\substack{y=y_{0},\\
x=x_{0}+\Delta x
}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}V_{y}dy+\underset{\substack{x=x_{0}+\Delta x,\\
y=y_{0}+\Delta y
}
}{\overset{x_{0}}{\int}}V_{x}dx+\underset{\substack{y=y_{0}+\Delta y,\\
x=x_{0}
}
}{\overset{y_{0}}{\int}}V_{y}dy\\
& =\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\right]dx\\
& +\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)\right]dy
\end{align*}
Selanjutnya jika ungkapan tersebut dibagi dengan luas daerah elemen persegi yaitu $\Delta x\Delta y$, maka
\begin{align*}
\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l} & =\frac{1}{\Delta x\Delta y}\left[\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\right]dx\right.\\
& \qquad\qquad\quad\;\;\left.+\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)\right]dy\right]\\
& =\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[\frac{V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)}{\Delta x\Delta y}\right]dx\\
& +\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[\frac{V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)}{\Delta x\Delta y}\right]dy
\end{align*}
Kemudian untuk nilai $\Delta x$ dan $\Delta y$ yang kecil dan dengan mengingat pengertian turunan parsial dikaitkan dengan limit, maka
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left[\underset{y=y_{0}}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\frac{1}{\Delta y}\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}\right)dy-\underset{x=x_{0}}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)dx\right]
\]
Dengan mengingat hubungan antara integral dan turunan parsial untuk fungsi multivariabel, yaitu
\[
\int\phi_{x}(x,y,z)dx=\Phi\left(x,y,z\right)\to\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\phi_{x}=\underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{\Phi\left(x+\Delta x,y,z\right)-\Phi\left(x,y,z\right)}{\Delta x}
\]
maka
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)
\]
Perhatikan bahwa dikaitkan dengan persamaan \ref{eq:curl-kartesian}, ruas kanan persamaan di atas adalah komponen dalam arah $\hat{k}$ dari rotasi medan vektor $\vec{V}$, yang juga menyatakan arah normal permukaan elemen luas $\Delta x\Delta y$ yang ditinjau.

Jika elemen luas yang ditinjau adalah sejajar dengan bidang $xz$ (artinya mempunyai arah normal yang dinyatakan dengan $+\hat{j}$) dengan batas-batas $x=x_{0}\to x=x_{0}+\Delta x$ dan $z=z_{0}\to z=z_{0}+\Delta z$, maka akan dapat dinyatakan
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta z\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta z}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}\right)-\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right)
\]
yang merupakan komponen dalam arah $\hat{j}$ dari rotasi medan vektor
$\vec{V}$.

Jika elemen luas yang ditinjau adalah sejajar dengan bidang $yz$ (artinya mempunyai arah normal yang dinyatakan dengan $+\hat{i}$) dengan batas-batas $y=y_{0}\to y=y_{0}+\Delta y$ dan $z=z_{0}\to z=z_{0}+\Delta z$, maka akan dapat dinyatakan
\[
\underset{\substack{\Delta y\to0\\
\Delta z\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta y\Delta z}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right)
\]
yang merupakan komponen dalam arah $\hat{i}$ dari rotasi medan vektor
$\vec{V}$.

Dengan demikian dapat dipahami bahwa rotasi suatu medan vektor merupakan suatu vektor yang komponen-komponennya dapat dikaitkan sebagai integral lintasan pada lintasan tertutup dengan orientasi tertentu. Artinya rotasi (curl) suatu medan vektor mempunyai pengertian bagaimana
sifat rotasi (putaran) medan vektor tersebut dalam orientasi (arah) tertentu.

Ungkapan yang mengaitkan pengertian rotasi medan vektor dengan integral lintasan tersebut juga dapat dinyatakan sedikit lebih lanjut dalam bentuk
\begin{equation}
\underset{\substack{\text{lintasan}\\
\text{tertutup}\\
C
}
}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}=\underset{\substack{\text{permukaan}\\
\sigma
}
}{\iint}\left(\vec{\nabla}\times\vec{V}\right)\cdot\hat{n}d\sigma\label{eq:teorema-stokes}
\end{equation}

yang merupakan ungkapan teorema \textbf{\uline{Stokes}}.