// // //

9 Desember 2019

Perolehan Nilai Akhir FI2101 Fisika Matematik I K02


Berikut ini adalah peroleh nilai FI2101 Fisika Matematik I Kelas K02

29 November 2019

Jadwal Presentasi Akhir Semester FI6001/ FI7001 Metodologi Penelitian

Untuk presentasi makalah disediakan waktu pada Selasa (3/12) mulai jam 08.00 sampai jam 10.00 di 1204, Jumat (6/12) mulai 07.00 sampai jam 10.00 di 1204 dan Senin (9/12) mulai jam 08.00-10.00 di 1203. Harap mendaftar lebih dahulu dengan mengisi NAMA & NIM di form berikut: Link

25 November 2019

Catatan Singkat: Transformasi Laplace, Konvolusi, Fungsi δ-Dirac dan Fungsi Green

Catatan singkat tentang Transformasi Laplace, Konvolusi, Fungsi Delta-Dirac dan Fungsi Green serta penggunaannya dalam penyelesaian PDB dapat dilihat dalam file berikut: Catatan22112016.

6 November 2019

Kuliah tg 8 Nov 2019

Kuliah FI2101 Fisika Matematik I Kelas K02 hari Jumat 8 November 2019 ditiadakan.

29 Oktober 2019

Catatan Tambahan: Teorema Stoke

Tinjau suatu medan vektor dalam koordinat kartesian yang dinyatakan dengan $\vec{V}=V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}$, ungkapan rotasi medan vektor tersebut dinyatakan sebagai berikut
\begin{align}
\vec{\nabla}\times\vec{V} & =\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times\left(V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}\right)\nonumber \\
& =\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial y}-\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)\hat{k}\label{eq:curl-kartesian}
\end{align}

Tinjau suatu permukaan berbentuk persegi pada bidang $xy$ yang berukuran $\Delta x\times\Delta y$. Vektor satuan arah normal permukaan ini adalah $\hat{k}$. Permukaan ini mempunyai sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu koordinat. Sisi yang sejajar sumbu $y$ berada pada $x=x_{0}$ dan $x=x_{0}+\Delta x$, sementara sisi yang sejajar sumbu $x$ berada pada $y=y_{0}$ dan $y=y_{0}+\Delta y$. Lintasan tertutup yang membatasi permukaan persegi tersebut dapat dipandang sebagai empat buah garis lurus. Elemen lintasan dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan
dengan $d\vec{l}=dx\hat{i}+dy\hat{j}$. Lintasan pertama yaitu segmen garis yang menghubungkan titik $\left(x_{0},y_{0}\right)$ dengan titik $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)$. Untuk segmen garis lainnya, yaitu segmen dua (menghubungkan tititk $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)$ dengan $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)$), segmen tiga (menghubungkan tititk $\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y\right)$ dengan $\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)$), segmen empat (menghubungkan tititk $\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)$ dengan $\left(x_{0},y_{0}\right)$).
Dot product medan vektor $\vec{V}$ dengan vektor $d\vec{l}$ akan memberikan
\[
\vec{V}\cdot d\vec{l}=\left(V_{x}\hat{i}+V_{y}\hat{j}+V_{z}\hat{k}\right)\cdot\left(dx\hat{i}+dy\hat{j}\right)=V_{x}dx+V_{y}dy
\]
Dengan demikian integral garis pada lintasan tertutup berupa persegi tersebut dengan medan vektor $\vec{V}$ adalah
\begin{align*}
\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l} & =\underset{\text{segmen 1}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)+\underset{\text{segmen 2}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)\\
& +\underset{\text{segmen 3}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)+\underset{\text{segmen 4}}{\int}\left(V_{x}dx+V_{y}dy\right)\\
& =\underset{\substack{x=x_{0},\\
y=y_{0}
}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}V_{x}dx+\underset{\substack{y=y_{0},\\
x=x_{0}+\Delta x
}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}V_{y}dy+\underset{\substack{x=x_{0}+\Delta x,\\
y=y_{0}+\Delta y
}
}{\overset{x_{0}}{\int}}V_{x}dx+\underset{\substack{y=y_{0}+\Delta y,\\
x=x_{0}
}
}{\overset{y_{0}}{\int}}V_{y}dy\\
& =\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\right]dx\\
& +\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)\right]dy
\end{align*}
Selanjutnya jika ungkapan tersebut dibagi dengan luas daerah elemen persegi yaitu $\Delta x\Delta y$, maka
\begin{align*}
\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l} & =\frac{1}{\Delta x\Delta y}\left[\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\right]dx\right.\\
& \qquad\qquad\quad\;\;\left.+\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)\right]dy\right]\\
& =\underset{\substack{x=x_{0}}
}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\left[\frac{V_{x}\left(x,y_{0},z\right)-V_{x}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)}{\Delta x\Delta y}\right]dx\\
& +\underset{\substack{y=y_{0}}
}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\left[\frac{V_{y}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{y}\left(x_{0},y,z\right)}{\Delta x\Delta y}\right]dy
\end{align*}
Kemudian untuk nilai $\Delta x$ dan $\Delta y$ yang kecil dan dengan mengingat pengertian turunan parsial dikaitkan dengan limit, maka
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left[\underset{y=y_{0}}{\overset{y_{0}+\Delta y}{\int}}\frac{1}{\Delta y}\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}\right)dy-\underset{x=x_{0}}{\overset{x_{0}+\Delta x}{\int}}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)dx\right]
\]
Dengan mengingat hubungan antara integral dan turunan parsial untuk fungsi multivariabel, yaitu
\[
\int\phi_{x}(x,y,z)dx=\Phi\left(x,y,z\right)\to\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\phi_{x}=\underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{\Phi\left(x+\Delta x,y,z\right)-\Phi\left(x,y,z\right)}{\Delta x}
\]
maka
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta y}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right)
\]
Perhatikan bahwa dikaitkan dengan persamaan \ref{eq:curl-kartesian}, ruas kanan persamaan di atas adalah komponen dalam arah $\hat{k}$ dari rotasi medan vektor $\vec{V}$, yang juga menyatakan arah normal permukaan elemen luas $\Delta x\Delta y$ yang ditinjau.

Jika elemen luas yang ditinjau adalah sejajar dengan bidang $xz$ (artinya mempunyai arah normal yang dinyatakan dengan $+\hat{j}$) dengan batas-batas $x=x_{0}\to x=x_{0}+\Delta x$ dan $z=z_{0}\to z=z_{0}+\Delta z$, maka akan dapat dinyatakan
\[
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta z\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta x\Delta z}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}\right)-\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right)
\]
yang merupakan komponen dalam arah $\hat{j}$ dari rotasi medan vektor
$\vec{V}$.

Jika elemen luas yang ditinjau adalah sejajar dengan bidang $yz$ (artinya mempunyai arah normal yang dinyatakan dengan $+\hat{i}$) dengan batas-batas $y=y_{0}\to y=y_{0}+\Delta y$ dan $z=z_{0}\to z=z_{0}+\Delta z$, maka akan dapat dinyatakan
\[
\underset{\substack{\Delta y\to0\\
\Delta z\to0
}
}{\lim}\left(\frac{1}{\Delta y\Delta z}\underset{C}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}\right)=\left(\frac{\partial V_{z}}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right)
\]
yang merupakan komponen dalam arah $\hat{i}$ dari rotasi medan vektor
$\vec{V}$.

Dengan demikian dapat dipahami bahwa rotasi suatu medan vektor merupakan suatu vektor yang komponen-komponennya dapat dikaitkan sebagai integral lintasan pada lintasan tertutup dengan orientasi tertentu. Artinya rotasi (curl) suatu medan vektor mempunyai pengertian bagaimana
sifat rotasi (putaran) medan vektor tersebut dalam orientasi (arah) tertentu.

Ungkapan yang mengaitkan pengertian rotasi medan vektor dengan integral lintasan tersebut juga dapat dinyatakan sedikit lebih lanjut dalam bentuk
\begin{equation}
\underset{\substack{\text{lintasan}\\
\text{tertutup}\\
C
}
}{\oint}\vec{V}\cdot d\vec{l}=\underset{\substack{\text{permukaan}\\
\sigma
}
}{\iint}\left(\vec{\nabla}\times\vec{V}\right)\cdot\hat{n}d\sigma\label{eq:teorema-stokes}
\end{equation}

yang merupakan ungkapan teorema \textbf{\uline{Stokes}}.