Secara matematik, divergensi suatu medan vektor $\vec{V}(x,y,z)=V_{x}(x,y,z)\hat{i}+V_{y}(x,y,z)\hat{j}+V_{z}(x,y,z)\hat{k}$ dinyatakan sebagai berikut (dalam koordinat kartesian)
\begin{align*}
\vec{\nabla}\cdot\vec{V} & =\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot \\
& \quad \left(V_{x}(x,y,z)\hat{i}+V_{y}(x,y,z)\hat{j}+V_{z}(x,y,z)\hat{k}\right)\\
& =\frac{\partial V_{x}\left(x,y,z\right)}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}\left(x,y,z\right)}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}\left(x,y,z\right)}{\partial z}
\end{align*}
Tinjau salah satu suku differensial parsial pada ungkapan divergensi
tersebut, misalnya suku pertama yaitu ${\displaystyle \frac{\partial V_{x}\left(x,y,z\right)}{\partial x}}$.
Jika kita ingat kembali tentang pengertian turunan dikaitkan dengan
limit, maka turunan parsial tersebut dapat dipahami sebagai berikut
\[
\frac{\partial V_{x}\left(x,y,z\right)}{\partial x}=\underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{V_{x}\left(x+\Delta x,y,z\right)-V_{x}\left(x,y,z\right)}{\Delta x}
\]
yang berarti laju perubahan nilai fungsi $V_{x}$ jika variabel $x$
berubah sebesar $\Delta x$ sementara variabel lainnya tetap. Demikian
halnya dengan suku kedua (turunan terhadap $y$) dan suku ketiga (turunan
terhadap $z$) dapat dipahami dalam bentuk sebagai berikut
\begin{align*}
\frac{\partial V_{y}\left(x,y,z\right)}{\partial y} & =\underset{\Delta y\to0}{\lim}\frac{V_{y}\left(x,y+\Delta y,z\right)-V_{x}\left(x,y,z\right)}{\Delta y}\\
\frac{\partial V_{z}\left(x,y,z\right)}{\partial z} & =\underset{\Delta z\to0}{\lim}\frac{V_{z}\left(x,y,z+\Delta z\right)-V_{x}\left(x,y,z\right)}{\Delta z}
\end{align*}
Untuk lebih jelasnya tinjau suatu elemen volume kecil yang berukuran
$\Delta x\times\Delta y\times\Delta z$ yang berada dalam ruang 3D.
Misalnya saja elemen volume tersebut terletak sejajar dengan bidang-bidang
koordinat dengan sisi-sisi yang sejajar bidang $yz$ berada pada $x=x_{0},x=x_{0}+\Delta x$;
sisi-sisi yang sejajar bidang $xz$ berada pada $y=y_{0},y=y_{0}+\Delta y$;
sisi-sisi yang sejajar bidang $xy$ berada pada $z=z_{0},z=z_{0}+\Delta z$.
Agar lebih mudah kita namakan saja permukaan-permukaan elemen volume
tersebut sebagai permukaan 1 (terletak pada $x=x_{0}$), permukaan
2 (terletak pada $x=x_{0}+\Delta x$), permukaan 3 (terletak pada
$y=y_{0}$), permukaan 4 (terletak pada $y_{0}+\Delta y$), permukaan
5 (terletak pada $z=z_{0}$) dan permukaan 6 (terletak pada $z=z_{0}+\Delta z$).
Arah normal masing-masing permukaan adalah sebagai berikut
\begin{align*}
\hat{n}_{\text{permukaan 1}} & =-\hat{i};\hat{n}_{\text{permukaan 2}}=+\hat{i}\\
\hat{n}_{\text{permukaan 3}} & =-\hat{j};\hat{n}_{\text{permukaan 4}}=+\hat{j}\\
\hat{n}_{\text{permukaan 5}} & =-\hat{k};\hat{n}_{\text{permukaan 6}}=+\hat{k}
\end{align*}
Dapat dipahami bahwa untuk suatu medan vektor $\vec{V}(x,y,z)=V_{x}\left(x,y,z\right)\hat{i}+V_{y}\left(x,y,z\right)\hat{j}+V_{z}\left(x,y,z\right)\hat{k}$,
maka
\begin{align*}
\vec{V}\cdot\hat{n}_{1} & =-V_{x}\left(x_{0},y,z\right);\vec{V}\cdot\hat{n}_{2}=+V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)\\
\vec{V}\cdot\hat{n}_{3} & =-V_{y}\left(x,y_{0},z\right);\vec{V}\cdot\hat{n}_{4}=+V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\\
\vec{V}\cdot\hat{n}_{5} & =-V_{z}\left(x,y,z_{0}\right);\vec{V}\cdot\hat{n}_{1}=+V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)
\end{align*}
Dengan memahami konsep fluks suatu medan vektor pada suatu permukaan,
maka kita dapat menyatakan
\begin{align*}
\phi_{1}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{1}\left(\Delta y\Delta z\right) & =-V_{x}\left(x_{0},y,z\right)\left(\Delta y\Delta z\right)\\
\phi_{2}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{2}\left(\Delta y\Delta z\right) & =+V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)\left(\Delta y\Delta z\right)\\
\phi_{3}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{3}\left(\Delta x\Delta z\right) & =-V_{y}\left(x,y_{0},z\right)\left(\Delta x\Delta z\right)\\
\phi_{4}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{4}\left(\Delta x\Delta z\right) & =+V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\left(\Delta x\Delta z\right)\\
\phi_{5}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{5}\left(\Delta x\Delta y\right) & =-V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)\left(\Delta x\Delta y\right)\\
\phi_{6}=\vec{V}\cdot\hat{n}_{6}\left(\Delta x\Delta y\right) & =+V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)\left(\Delta x\Delta y\right)
\end{align*}
Dengan demikian dapat dipahami bahwa fluks total pada permukaan tertutup
yang membatas elemen volume tersebut adalah
\begin{eqnarray*}
\phi_{\text{total}} & = & \phi_{1}+\phi_{2}+\phi_{3}+\phi_{4}+\phi_{5}+\phi_{6}\\
& = & -V_{x}\left(x_{0},y,z\right)\left(\Delta y\Delta z\right)+V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)\left(\Delta y\Delta z\right)\\
& & -V_{y}\left(x,y_{0},z\right)\left(\Delta x\Delta z\right)+V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)\left(\Delta x\Delta z\right)\\
& & -V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)\left(\Delta x\Delta y\right)+V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)\left(\Delta x\Delta y\right)\\
\phi_{\text{keluar total}}-\phi_{\text{masuk total}} & = & \left(\Delta y\Delta z\right)\left[V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{x}\left(x_{0},y,z\right)\right]\\
& & +\left(\Delta x\Delta z\right)\left[V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)-V_{y}\left(x,y_{0},z\right)\right]\\
& & +\left(\Delta x\Delta y\right)\left[V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)-V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)\right]\\
\frac{\Delta\phi}{\text{Volume}}=\frac{\phi_{\text{total}}}{\left(\Delta x\Delta y\Delta z\right)} & = & \frac{\left[V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{x}\left(x_{0},y,z\right)\right]}{\Delta x}\\
& & +\frac{\left[V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)-V_{y}\left(x,y_{0},z\right)\right]}{\Delta y}\\
& & +\frac{\left[V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)-V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)\right]}{\Delta z}
\end{eqnarray*}
Jika diambil ukuran elemen volume tersebut sangat kecil, maka
\begin{eqnarray*}
\underset{\substack{\Delta x\to0\\
\Delta y\to0\\
\Delta z\to0
}
}{\lim}\frac{\phi_{\text{total}}}{\left(\Delta x\Delta y\Delta z\right)} & = & \underset{\Delta x\to0}{\lim}\frac{\left[V_{x}\left(x_{0}+\Delta x,y,z\right)-V_{x}\left(x_{0},y,z\right)\right]}{\Delta x}\\
& & +\underset{\Delta y\to0}{\lim}\frac{\left[V_{y}\left(x,y_{0}+\Delta y,z\right)-V_{y}\left(x,y_{0},z\right)\right]}{\Delta y}\\
& & +\underset{\Delta z\to0}{\lim}\frac{\left[V_{z}\left(x,y,z_{0}+\Delta z\right)-V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)\right]}{\Delta z}\\
& = & \frac{\partial V_{x}\left(x_{0},y,z\right)}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}\left(x,y_{0},z\right)}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}\left(x,y,z_{0}\right)}{\partial z}
\end{eqnarray*}
Terlihat bahwa ruas kanan persamaan di atas adalah nilai $\vec{\nabla}\cdot\vec{V}$
bila dihitung di suatu titik $(x_{0},y_{0,}z_{0})$ tertentu. Dengan
demikian ungkapan tersebut di atas memberikan gambaran atau interpretasi
atau pemahaman tentang divergensi suatu medan vektor, yaitu menyatakan
fluks total medan vektor pada suatu elemen volume yang kecil. Jika
fluks total bernilai positif ($\vec{\nabla}\cdot\vec{V}>0$), berarti
fluks yang meninggalkan elemen volume lebih besar dari fluks yang
masuk elemen volume. Hal ini dapat dipahami sebagai adanya suatu sumber
dalam elemen volume tersebut. Jika fluks total bernilai negatif ($\vec{\nabla}\cdot\vec{V}<0$)
berarti fluks yang masuk elemen volume lebih besar daripada fluks
yang meninggalkan elemen volume. Hal ini dapat dipahami sebagai adanya
kehilangan pada elemen volume tersebut. Jika fluks total sama dengan
nol ($\vec{\nabla}\cdot\vec{V}=0$), berarti fluks yang meninggalkan
elemen volume sama dengan fluks memasuki elemen volume tersebut. Hal
ini dapat dipahami sebagai tidak adanya sumber atau kehilangan pada
elemen volume tersebut.
Dengan pemahaman dan pengertian divergensi suatu medan vektor seperti
dijelaskan di atas, maka
\[
\phi_{\text{total}}=\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{V}\right)\left(\Delta x\Delta y\Delta z\right)
\]
untuk $\Delta x,\Delta y$ dan $\Delta z$ yang sangat kecil dapat
dinyatakan
\[
\phi_{\text{total}}=\underset{\substack{\text{elemen}\\
\text{volume}
}
}{\int}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{V}\right)dxdydz=\underset{\tau}{\int}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{V}\right)d\tau
\]
sedangkan fluks total pada suatu permukaan tertutup dapat dinyatakan
\[
\phi_{\text{total}}=\underset{\substack{\text{permukaan}\\
\text{tertutup}
}
}{\int}\vec{V}\cdot d\vec{\sigma}=\underset{\substack{\text{permukaan}\\
\text{tertutup}
}
}{\int}\vec{V}\cdot\hat{n}d\sigma
\]
Dengan demikian akan dapat dinyatakan
\begin{equation}
\underset{\substack{\text{permukaan}\\
\text{tertutup }\sigma
}
}{\int}\vec{V}\cdot\hat{n}d\sigma=\underset{\substack{\text{volume }\tau}
}{\int}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{V}\right)d\tau\label{eq:teorema-divergensi}
\end{equation}
Persamaan di atas dikenal sebagai teorema \textbf{\uline{Divergensi}}.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar