Nilai Akhir FI2201 K01

Berikut ini adalah peroleh nilai akhir (setelah U3) FI2201 Fisika Matematik IA Kelas K01

Nilai FI2201 Fisika Matematik IIA Kelas K01

Berikut ini adalah peroleh nilai FI2201 Fisika Matematik IA Kelas K01

Informasi Ujian II (UAS) Fisika Matematik IIA

Ujian II (UAS) FI2201 Fisika Matematik IIA Sem 2 2017 diadakan pada Senin 30 April 2018 mulai jam 12.30. Bahan ujian mencakup: Solusi Deret untuk PDB, Persamaan Differensial Parsial dan Fungsi Kompleks. 

Pembagian ruang ujian untuk peserta kelas K01 adalah sebagai berikut

• Ruang 9103: NIM 10213042 - 10216063
• Ruang 9104: NIM 10216064 - 10216105

Untuk Ujian ini, peserta diperkenankan menyiapkan catatan yang ditulis dalam satu lembar kertas berukuran A4 (bolak-balik) untuk digunakan saat ujian. Catatan tersebut harus ditulis tangan, bukan hasil scan/ fotokopi dan dikumpulkan secara kolektif untuk mendapat persetujuan dosen. Batas waktu pengumpulan catatan tersebut adalah Jumat 27 April 2018 jam 14.00 di TU Fisika.

Soal dan Solusi Quiz 5 FI2201

Soal dan Solusi Quiz 5 FI2201 Fisika Matematik IIA telah diarsipkan. Silakan digunakan untuk bahan belajar.

Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA Minggu #13-#15

Berikut adalah Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K01 untuk minggu #13-#15

Nilai Ujian I FI2201 Fisika Matematik IIA K01

Berikut ini adalah peroleh nilai UTS FI2201 Fisika Matematik IIA Kelas K01

Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 K01 Minggu #10-#12

Berikut adalah Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K01 Minggu #10 - #12

Informasi Ujian I FI2201 Fisika Matematik IIA

Ujian I (UTS) FI2201 Fisika Matematik IIA Sem 2 2017 diadakan pada Senin 05 Maret 2018 mulai jam 09.00. Bahan ujian mencakup: Kalkulus Variasi, Transformasi Koordinat Ortogonal & Tensor, Fungsi Khusus dan Solusi Deret untuk PDB. 

Pembagian ruang ujian adalah sebagai berikut

• Ruang 9121 (GKU Barat): NIM 10213042 - 10216077
• Ruang 9226 (GKU Timur): NIM 10216078 - 10216105

Untuk Ujian ini, peserta diperkenankan menyiapkan catatan yang ditulis dalam satu lembar kertas berukuran A4 (bolak-balik) untuk digunakan saat ujian. Catatan tersebut harus ditulis tangan, bukan hasil scan/ fotokopi dan dikumpulkan secara kolektif untuk mendapat persetujuan dosen. Batas waktu pengumpulan catatan tersebut adalah Jumat 2 Maret 2018 jam 14.00 di TU Fisika.

Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K01 Minggu #07 - #09

Berikut adalah Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K01 Minggu #07 - #09

Catatan Tambahan Tensor dan Matriks

Tinjau transformasi kordinat berupa rotasi sumbu kordinat. Dengan transformasi ini suatu vektor $\vec{U}=U_{1}\hat{e_{1}}+U_{2}\hat{e_{2}}+U_{3}\hat{e_{3}}$ menjadi vektor $\vec{U}'=U_{1}'\hat{e_{1}'}+U_{2}'\hat{e_{2}'}+U_{3}'\hat{e_{3}'}$ dan vektor $\vec{V}=V_{1}\hat{e_{1}}+V_{2}\hat{e_{2}}+V_{3}\hat{e_{3}}$ menjadi vektor $\vec{V}'=V_{1}'\hat{e_{1}'}+V_{2}'\hat{e_{2}'}+V_{3}'\hat{e_{3}'}$.
Dalam notasi matriks, hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
U_{1}'\\
U_{2}'\\
U_{3}'
\end{array}\right) & = & A\left(\begin{array}{c}
U_{1}\\
U_{2}\\
U_{3}
\end{array}\right)\nonumber \\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
U_{1}\\
U_{2}\\
U_{3}
\end{array}\right)\nonumber \\
 & = & \left(\begin{array}{c}
a_{11}U_{1}+a_{12}U_{2}+a_{13}U_{3}\\
a_{21}U_{1}+a_{22}U_{2}+a_{23}U_{3}\\
a_{31}U_{1}+a_{32}U_{2}+a_{33}U_{3}
\end{array}\right)\label{eq:matriks-u-aksen}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
V_{1}'\\
V_{2}'\\
V_{3}'
\end{array}\right) & = & A\left(\begin{array}{c}
V_{1}\\
V_{2}\\
V_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{11}V_{1}+a_{12}V_{2}+a_{13}V_{3}\\
a_{21}V_{1}+a_{22}V_{2}+a_{23}V_{3}\\
a_{31}V_{1}+a_{32}V_{2}+a_{33}V_{3}
\end{array}\right)\label{eq:matriks-v-aksen}
\end{eqnarray}
Telah dipahami pula bahwa direct product dari dua buah vektor menghasilkan suatu tensor rank 2
\[
\vec{r}\otimes\vec{p}=\left(\begin{array}{c}
r_{1}\\
r_{2}\\
r_{3}
\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{ccc}
p_{1} & p_{2} & p_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
r_{1}p_{1} & r_{1}p_{2} & r_{1}p_{3}\\
r_{2}p_{1} & r_{2}p_{2} & r_{2}p_{3}\\
r_{3}p_{1} & r_{3}p_{2} & r_{3}p_{3}
\end{array}\right)
\]
Jika tensor tersebut dinyatakan sebagai tensor $B$, maka
\begin{eqnarray*}
B & = & \left(\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
r_{1}p_{1} & r_{1}p_{2} & r_{1}p_{3}\\
r_{2}p_{1} & r_{2}p_{2} & r_{2}p_{3}\\
r_{3}p_{1} & r_{3}p_{2} & r_{3}p_{3}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Artinya jika dinyatakan dalam bentuk komponen, maka komponen baris ke-$i$ kolom ke-$j$ dari matriks $B$ adalah
\[
b_{ij}=r_{i}p_{j}
\]
Jadi direct product dari $\vec{U}'$ dan $\vec{V}'$ juga menghasilkan suatu tensor rank 2
\begin{eqnarray*}
\vec{U}'\otimes\vec{V}' & = & \left(\begin{array}{c}
U_{1}'\\
U_{2}'\\
U_{3}'
\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{ccc}
V_{1}' & V_{2}' & V_{3}'\end{array}\right)\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
U_{1}'V_{1}' & U_{1}'V_{2}' & U_{1}'V_{3}'\\
U_{2}'V_{1}' & U_{2}'V_{2}' & U_{2}'V_{3}'\\
U_{3}'V_{1}' & U_{3}'V_{2}' & U_{3}'V_{3}'
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}
Kemudian dengan menggunakan hasil pada persamaan \ref{eq:matriks-u-aksen} dan persamaan \ref{eq:matriks-v-aksen}, maka diperoleh
\begin{eqnarray*}
\vec{U}'\otimes\vec{V}' & = & \left(\begin{array}{ccc}
U_{1}'V_{1}' & U_{1}'V_{2}' & U_{1}'V_{3}'\\
U_{2}'V_{1}' & U_{2}'V_{2}' & U_{2}'V_{3}'\\
U_{3}'V_{1}' & U_{3}'V_{2}' & U_{3}'V_{3}'
\end{array}\right)\equiv W'
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
W_{11}' & = & U_{1}'V_{1}'=(a_{11}U_{1}+a_{12}U_{2}+a_{13}U_{3})(a_{11}V_{1}+a_{12}V_{2}+a_{13}V_{3})\\
 & = & \quad a_{11}a_{11}U_{1}V_{1}+a_{11}a_{12}U_{1}V_{2}+a_{11}a_{13}U_{1}V_{3}\\
 &  & +\,a_{12}a_{11}U_{2}V_{1}+a_{12}a_{12}U_{2}V_{2}+a_{12}a_{13}U_{2}V_{3}\\
 &  & +\,a_{13}a_{11}U_{3}V_{1}+a_{13}a_{12}U_{3}V_{2}+a_{13}a_{13}U_{3}V_{3}\\
 & = & \underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{11}a_{1j}U_{1}V_{j}+\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{12}a_{1j}U_{2}V_{j}+\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{13}a_{1j}U_{1}V_{j}\\
 & = & \underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\left(\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{1i}a_{1j}U_{i}V_{j}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{1i}a_{1j}U_{i}V_{j}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
W_{12}' & = & U_{1}'V_{2}'=(a_{11}U_{1}+a_{12}U_{2}+a_{13}U_{3})(a_{21}V_{1}+a_{22}V_{2}+a_{23}V_{3})\\
 & = & \quad a_{11}a_{21}U_{1}V_{1}+a_{11}a_{22}U_{1}V_{2}+a_{11}a_{23}U_{1}V_{3}\\
 &  & +\,a_{12}a_{21}U_{2}V_{1}+a_{12}a_{22}U_{2}V_{2}+a_{12}a_{23}U_{2}V_{3}\\
 &  & +\,a_{13}a_{21}U_{3}V_{1}+a_{13}a_{22}U_{3}V_{2}+a_{13}a_{23}U_{3}V_{3}\\
 & = & \underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{11}a_{2j}U_{1}V_{j}+\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{12}a_{2j}U_{2}V_{j}+\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{13}a_{2j}U_{3}V_{j}\\
 & = & \underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\left(\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{1i}a_{2j}U_{i}V_{j}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{1i}a_{2j}U_{i}V_{j}
\end{eqnarray*}
Dapat diteruskan untuk memperoleh komponen tensor $W'$ lainnya
\begin{align*}
W_{13}' & =\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{1i}a_{3j}U_{i}V_{j}\\
W_{21}' & =\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{2i}a_{1j}U_{i}V_{j}\\
 & \ldots
\end{align*}
Bila digeneralisasi, maka akan diperoleh
\[
W_{\alpha\beta}'=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{\alpha i}a_{\beta j}U_{i}V_{j}
\]
dan jika $W_{ij}=U_{i}V_{j}$, maka
\[
W_{\alpha\beta}'=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{\alpha i}a_{\beta j}W_{ij}
\]
Karena $W_{\alpha\beta}'=U_{\alpha}'V_{\beta}'$, maka dapat pula dinyatakan
\[
W_{\alpha\beta}'=U_{\alpha}'V_{\beta}'=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}a_{\alpha i}a_{\beta j}U_{i}V_{j}
\]
Hal yang sama dapat digeneralisasi untuk memperoleh tensor rank yang lebih tinggi, misalnya untuk tensor rank 4:
\[
\begin{array}{ccl}
W_{\alpha\beta\gamma\delta}'=M_{\alpha}'N_{\beta}'O_{\gamma}'P_{\delta}' & = & \underset{i=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\underset{l=1}{\overset{3}{\sum}}a_{\alpha i}a_{\beta j}a_{\gamma k}a_{\delta l}W_{ijkl}\\
 & = & \underset{i,j,k,l=1}{\overset{3}{\sum}}a_{\alpha i}a_{\beta j}a_{\gamma k}a_{\delta l}W_{ijkl}
\end{array}
\]
Jika menggunakan notasi konvensi penjumlahan (\emph{summation convention})
\[
W_{\alpha\beta\gamma\delta}'=a_{\alpha i}a_{\beta j}a_{\gamma k}a_{\delta l}W_{ijkl}
\]

Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 K01 Minggu #04 - #06

Berikut adalah Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K-01 untuk Minggu #4 - #6

Rencana Kegiatan Perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA Minggu #01 - #03

Berikut adalah rencana kegiatan perkuliahan FI2201 Fisika Matematik IIA K-01 untuk minggu #1 - #3