Fungsi Green untuk solusi PDB

Misalkan terdapat bentuk fungsi Green $G(t,\tau)$ sedemikian sehingga $G(t,\tau)$ tersebut adalah solusi dari persamaan diferensial berikut
\[
\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)y=\delta(t-\tau)
\]
artinya bila $G(t,\tau)$ disubstitusikan sebagai $y$ pada persamaan diferensial tersebut maka akan terpenuhi kesamaan, yaitu
\[
\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)G(t,\tau)=\delta(t-\tau)
\]
Jika kemudian fungsi $G(t,\tau)$ tersebut dikalikan dengan suatu fungsi sembarang yang mempunyai variabel $\tau$, sebut saja misalnya $f(\tau)$ dan kemudian diintegralkan terhadap variabel $\tau$ dari $0$ sampai $\infty$, maka hasilnya secara umum adalah suatu fungsi yang variabelnya $t$ (sebut saja sebagai $\chi(t)$). Hal ini berarti dapat dituliskan
\[
\int\limits_{0}^{\infty}G(t,\tau)f(\tau)d\tau\equiv\chi(t)
\]
Selanjutnya jika fungsi dengan variabel $t$ tersebut disubstitusikan ke persamaan diferensial di atas, maka akan diperoleh
\begin{equation*}
\begin{split}
\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)\chi(t) & =
\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)\int\limits_{0}^{\infty}G(t,\tau)f(\tau)d\tau\\
 & =  \int\limits_{0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)G(t,\tau)}f(\tau)d\tau\\
 & =  \int\limits_{0}^{\infty}\qquad\;\;\delta(t-\tau)\quad f(\tau)d\tau\\
 & =  f(t)
 \end{split}
\end{equation*}
Artinya diperoleh
\[
\left(\frac{d^{2}}{dt^{2}}+\omega^{2}\right)\chi(t)=f(t)
\]
dengan
\[
\chi(t)=\int\limits_{0}^{\infty}G(t,\tau)f(\tau)d\tau
\]
Dengan demikian artinya adalah: "solusi suatu persamaan diferensial (kali ini dengan forcing function sembarang) dapat diperoleh menggunakan fungsi Green dari operator diferensialnya". Untuk persamaan diferensial yang dinyatakan dengan
\[
\mathfrak{D}y(t)=f(t)
\]
dengan $\mathfrak{D}$ adalah operator diferensial, maka solusinya diperoleh sebagai berikut
\[
y(t)=\int\limits_{0}^{\infty}G(t,\tau)f(\tau)d\tau
\]
dengan $G(t,\tau)$ adalah bentuk fungsi Green dari operator diferensial $\mathfrak{D}$.