Catatan Tambahan: Fungsi $\delta$-Dirac

Tinjau suatu fungsi $f(x)$ dan transformasi Fourier dari fungsi tersebutyang dinyatakan dengan $g(\omega)$.

\begin{equation}
\begin{split}
g(\omega)  & =  \frac{1}{2\pi}\underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi \\
f(x) & =  \underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}g(\omega)e^{i\omega x}d\omega\\
& =  \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i \omega \xi} d\xi \right)e^{i \omega x} d\omega \\
& = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \left[\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega (x-\xi)}d\omega \right] d \xi
\end{split}
\end{equation}

Integral dalam kurung siku dinamakan fungsi delta Dirac, dilambangkan dengan $\delta$, yaitu
\begin{equation}
\delta(x- \xi) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i \omega (x-\xi)}d\omega
\label{eq:delta-dirac-integral}
\end{equation}
Dengan demikian diperoleh
\begin{equation}
f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \delta (x- \xi) d\xi
\label{eq:delta-dirac-pencuplikan}
\end{equation}
Persamaan (\ref{eq:delta-dirac-integral}) merupakan definisi fungsi delta Dirac (dalam bentuk integral). Sedangkan persamaan (\ref{eq:delta-dirac-pencuplikan}) memberikan informasi bahwa suatu fungsi $f(\xi)$ dikalikan dengan fungsi delta Dirac $\delta(x-\xi)$ dan diintegralkan untuk seluruh variabel maka hasilnya sama dengan $f(x)$. Berarti fungsi delta bersifat seperti "mencuplik" suatu fungsi.

Fungsi delta Dirac ini tidak seperti fungsi yang biasa. Fungsi $\delta$-Dirac menggambarkan besaran yang ada nilainya hanya pada satu titik tertentu (misalnya berupa fungsi impulsif atau distribusi titik) dan nol untuk yang lainnya. Beberapa sifat yang penting dari fungsi $\delta$-Dirac diungkapkan dalam beberapa persamaan berikut
\begin{equation}
\begin{split}
\delta(x-\xi) & =
\begin{cases} 0, & \quad\text{jika }x\neq\xi\\
\infty, & \quad\text{jika }x=\xi
\end{cases} \\
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x-\xi)dx & = 1 \\
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x-\xi)f(x)dx & = f(\xi)
\end{split}
\end{equation}