Proses Adiabatik pada Gas Ideal

Kalor dan Perubahan Temperatur

Kalor yang diserap oleh suatu system memungkinkan system tersebut mengalami perubahan temperature ataupun perubahan wujud. Terkait dengan proses perubahan temperature, hubungan antara kalor dan perubahan temperature yang terjadi dinyatakan dalam bentuk berikut

\[ Q=mc\left(\Delta T\right) \] 

dengan $m$ menyatakan massa dan $c$ adalah kapasitas kalor (?), satuannya Joule/(kg.K). Pada prinsipnya hubungan kalor dengan perubahan temperature tersebut adalah berbanding lurus, dengan faktor kesebandingannya dipengaruhi oleh kuantitas zat dan karakteristik zat. Kuantitas zat dapat juga direpresentasikan dengan jumlah mole alih-alih dengan massa. Jika dinyatakan dengan jumlah mole, maka hubungan kalor dan perubahan temperature 

\[ Q=nC\left(\Delta T\right)\]

Dengan $n$ menyatakan jumlah mole dan $C$ kapasitas kalor molar (diberi symbol berbeda dengan besaran sebelumnya), satuannya adalah Joule/(mole.K)

Energi Dalam Gas

Berdasarkan Teori Kinetik Gas Ideal (TKGI), energi dalam suatu gas ideal merupakan jumlah energi rata-rata yang dimiliki oleh seluruh partikel gas yang ada dalam system tersebut. Hal ini bisa dikaitkan dengan teorema ekipartisi energi, yang menyebutkan bahwa setiap derajat kebebasan memberikan energi sebesar $\frac{1}{2}kT$, dengan $k$ adalah konstanta Boltzmann dan $T$ menyatakan temperature mutlak (dalam satuan kelvin). Energi rata-rata suatu partikel gas ideal adalah

\[\langle K \rangle =\frac{f}{2}kT\]

dengan $f$ menyatakan jumlah derajat kebebasan. Jika system gas terdiri dari $N$ buah partikel individu, maka energi internal (energi dalam) yang dimiliki system gas tersebut sama dengan jumlah seluruh energi partikel, yaitu dapat dinyatakan

\[ U = N \langle K \rangle =N\left( \frac{f}{2}kT \right) \]

Dapat juga dinyatakan menggunakan jumlah mole, $n$ dan tetapan gas, $R$ dengan menggunakan hubungan $nR=Nk$, yang berarti

\[U=N\langle K \rangle=N\left(\frac{f}{2} kT\right)=\frac{f}{2}nRT \]

Perubahan energi dalam 

\[ \Delta U = \frac{f}{2}nR\left(\Delta T\right)\]

Pengukuran $\Delta U$ dilakukan melalui pengukuran kalor yang terlibat dalam suatu proses, besaran fisis yang diamati adalah kalor jenis ($c$ ataupun $C$). 

Kalor dan Kapasitas Kalor Gas Ideal 

Untuk system yang berupa gas ideal, persamaan keadaannya dinyatakan dengan persamaan keadaan gas ideal, yaitu  $pV=nRT$. Tinjau proses sederhana yaitu proses isokhorik (proses volume tetap) yang berarti $\Delta V=0$. Ini berarti kerja atau usaha yang terlibat sama dengan nol. Berdasarkan HPT $\Delta U=Q$, yang berarti seluruh kalor yang terlibat dalam proses isokhorik menyebabkan perubahan energi dalam. Sebagai penanda, kapasitas kalor pada proses ini diberi tanda dengan subscript $v$ untuk mengingatkan bahwa proses yang terjadi pada volume tetap. 

\[ \Delta U = Q = nC_v \left( \Delta T \right) \quad \quad ≪\text{proses isokhorik}≫ \]

Karena $\Delta U=\frac{f}{2}nR\left(\Delta T\right)$, maka dapat diperoleh

\[\frac{f}{2}nR\left(\Delta T\right) = nC_v \left(\Delta T\right ) \to C_v=\frac{f}{2} R \]

Selanjutnya tinjau proses isobaric (proses yang terjadi pada tekanan tetap). Dari HPT dapat dituliskan

\[ \Delta U=Q-p \Delta V \to Q=\Delta U+p\Delta V\]

dengan persamaan keadaan gas ideal $pV=nRT$, maka dapat dinyatakan bahwa pada tekanan tetap akan diperoleh $p \Delta V=nR\left( \Delta T \right)$. Dengan demikian dapat diperoleh bahwa kalor yang terlibat dalam proses isobaric adalah

$$ Q=\Delta U+p \Delta V $$

$$ nC_p \left(\Delta T\right)=nC_v \left(\Delta T\right)+nR\left(\Delta T \right) $$

$$\Longrightarrow C_p=C_v+R $$

Dapat dinyatakan juga bahwa 

\[R=C_p-C_v\]

Proses adiabatic pada gas ideal

Proses adiabatic ditandai dengan tidak adanya pertukaran kalor antara system dan lingkungan. Oleh karenanya $Q=0$. Dengan demikian dari HPT akan dapat dinyatakan 

$$Q=\Delta U+W \to \Delta U=Q-W=0-W=-W$$

Jadi untuk proses adiabatic berlaku $\Delta U=-W$, yang berarti energi dalam system bertambah jika lingkungan melakukan kerja pada system (atau system menerima kerja dari lingkungan).

Telah diperoleh sebelumnya bahwa energi dalam gas ideal hanya bergantung pada temperature dan dapat dinyatakan menggunakan kapasitas panas $C_v$, yaitu 

$$\Delta U=nC_v \left(\Delta T\right)=\frac{f}{2} nR\left(\Delta T\right)$$

Dengan demikian besar kerja yang terlibat pada proses adiabatic adalah 

$$W_\text{adiabatik}=-\frac{f}{2}nR\left(\Delta T\right)=\frac{f}{2}nR\left(T_{awal}-T_{akhir}\right)$$

Jadi sebagai rangkuman, untuk proses adiabatic gas ideal perubahan energi dalam, kalor dan kerja yang dilakukan system adalah sebagai berikut

$$Q=0$$

$$\Delta U=nC_v \left(\Delta T\right)=\frac{f}{2}nR\left(\Delta T\right)$$

$$W=-\Delta U=-\frac{f}{2} nR\left(\Delta T\right)=-nC_v \left(\Delta T\right)$$

Selanjutnya tinjau persamaan keadaan gas ideal $pV=nRT$, dengan mendiferensialkan persamaan tersebut akan dapat diperoleh

$$p\Delta V+V\Delta p=nR\Delta T$$

sedangkan dari HPT untuk proses adiabatic, diperoleh bahwa $\Delta U=nC_v \left(\Delta T\right)=-W=-p\Delta V$, maka diperoleh $n\left(\Delta T\right)=-p/C_v  \left(\Delta V\right)$. Dengan $R=C_p-C_v$, maka selanjutnya

$$p\Delta V+V\Delta p=n\left(C_p-C_v \right)\left(\Delta T\right)$$

$$p\Delta V+V\Delta p=\left(-\frac{p}{C_v} \Delta V\right)\left(C_p-C_v \right)$$

$$p\Delta V+V\Delta p=\left(p\Delta V\right)\left(1-\frac{C_p}{C_v}\right)$$

$$V\Delta p=\left(p\Delta V\right)\left(-\frac{C_p}{C_v}\right)$$

$$\frac{\Delta p}{p}=-\frac{\Delta V}{V}\;\frac{C_p}{C_v}$$

$$\frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V} \left(\frac{C_p}{C_v} \right)=0$$

Integralkan

\[ \ln ⁡p+\frac{C_p}{C_v} \ln ⁡V=\text{konstan} \to \ln⁡ \left(pV^{C_p/C_v}\right)=\ln \left(\text{konstan}\right) \]

Dengan menggunakan $C_p/C_v \equiv \gamma$, maka akan diperoleh

$$pV^\gamma=\text{konstan}$$