Penyelesaian PDB dengan Pemisahan Persamaan (Separable Equations)

Metode standar yang paling mudah digunakan untuk memperoleh solusi PDB orde satu adalah dengan pemisahan persamaan separable equations. Bentuk umum PDBOS yang dapat diselesaikan dengan cara ini adalah
\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]
yang berarti variabel $x$ dan $y$ terpisah dalam bentuk perkalian dua buah fungsi. PDBOS yang tidak dalam bentuk tersebut masih mungkin diselesaikan menggunakan metode tersebut melalui substitusi variabel yang tepat. Jika menggunakan variabel baru $v=yx^{-m}$, maka metode ini dikenal sebagai metode persamaan isobarik dan metode persamaan homogen jika $v=yx^{-1}$. Terlihat sebenarnya metode persamaan homogen adalah bentuk khusus dari metode persamaan isobarik, yaitu dengan $m=1$. Secara umum sebenarnya nilai $m$ dapat dipilih agar persamaan differensial $v$ mempunyai bentuk yang dapat diselesaikan dengan separable equations. Perhatikan contoh berikut.

Misalnya ingin dicari solusi persamaan differensial
\[x\dfrac{dy}{dx}+3x+y=0\]
yang dapat pula dinyatakan dalam bentuk
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{-3x-y}{x} \]
Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan langsung dengan metode pemisahan persamaan karena ruas kanan persamaan tersebut tidak dalam bentuk perkalian dua buah fungsi $f(x)$ dan $g(y)$. Jika misalnya digunakan variabel baru $v=yx^{-m}$ atau $y=vx^{m}$, maka akan dapat
diperoleh bahwa
\[ y=vx^{m}\to dy=x^{m}dv+vmx^{m-1}dx\to\frac{dy}{dx}=x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1} \]
Selanjutnya persamaan differensial tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & =\frac{-3x-y}{x}\\
x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1} & =\frac{-3x-(vx^{m})}{x}\\
\Longleftrightarrow x^{m+1}\frac{dv}{dx}+vmx^{m} & =-3x-vx^{m}\\
\Longleftrightarrow\frac{dv}{dx} & =\frac{-3x-vx^{m}\left(1+m\right)}{x^{m+1}}
\end{align*}
Perhatikan bahwa jika diambil nilai $m=-1$, maka bagian dalam kurung pada ruas kanan akan sama dengan nol dan bagian penyebut di ruas kanan akan sama dengan $1$, sehingga persamaan differensial tersebut di atas akan menjadi
\[ \frac{dv}{dx}=-3x \]
Terlihat bahwa dengan memilih nilai $m=-1$, yang berarti menggunakan variabel baru $v=yx$, maka akan diperoleh persaman differensial baru yang dapat diselesaikan dengan pemisahan persamaan. Solusi persamaan differensial di atas mudah diperoleh yaitu
\[\dfrac{dv}{dx}=-3x\to dv=-3xdx\to v=-\frac{3x^{2}}{2}+C \]
dan kemudian karena $y=\dfrac{v}{x}$, maka solusi $y(x)$ dapat diperoleh yaitu
\begin{align*}
y & =\frac{v}{x}=\frac{-\dfrac{3}{2}x^{2}+C}{x}\\
\Longleftrightarrow yx+\frac{3}{2}x^{2} & =C
\end{align*}
Contoh kedua, misalnya persamaan differensial $y^{2}dx+\dfrac{2}{x}dx+2xydy=0$. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk
\[\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(y^{2}+\dfrac{2}{x}\right)}{2xy} \]
Misalkan $y=vx^{m}$, maka
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & =\frac{-\left(v^{2}x^{2m}+\dfrac{2}{x}\right)}{2xvx^{m}}\\
x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1} & =\frac{-\left(v^{2}x^{2m}+2x^{-1}\right)}{2vx^{m+1}}\\
2vx^{m+1}x^{m}\frac{dv}{dx}+\left(2vx^{m+1}\right)\left(vmx^{m-1}\right) & =-v^{2}x^{2m}-2x^{-1}\\
2vx^{2m+1}\frac{dv}{dx}+2v^{2}mx^{2m} & =-v^{2}x^{2m}-2x^{-1}\\
2vx^{2m+1}\frac{dv}{dx}+v^{2}x^{2m}\left(2m+1\right) & =-\frac{2}{x}\\
\frac{dv}{dx} & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle -\frac{2}{x}}-v^{2}x^{2m}\left(2m+1\right)}{2vx^{2m+1}}}
\end{align*}
Jika dipilih agar nilai $\left(2m+1\right)=0$ yang memberikan $m=-\frac{1}{2}$, maka persamaan differensial tersebut akan menjadi
\[ \frac{dv}{dx}=\frac{-\dfrac{2}{x}}{2v}=-\frac{1}{vx}\]
yang berarti dapat diselesaikan dengan pemisahan persamaan
\[ vdv=-\frac{1}{x}dx\to\frac{v^{2}}{2}=-\ln x+C\to v^{2}=-2\ln x+\mathcal{C} \]
atau
\[ v=\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}} \]
dan karena $y=vx^{m}=vx^{-1/2}$, maka akan diperoleh
\begin{align*}
y & =\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}}\\
\Longleftrightarrow y\sqrt{x} & =\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}}\\
\Longleftrightarrow y^{2}x & =-2\ln x+\mathcal{C}\\
\Longleftrightarrow y^{2}x+2\ln x & =\mathcal{C}
\end{align*}