\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
yang berarti variabel x dan y terpisah dalam bentuk perkalian dua buah fungsi. PDBOS yang tidak dalam bentuk tersebut masih mungkin diselesaikan menggunakan metode tersebut melalui substitusi variabel yang tepat. Jika menggunakan variabel baru v=yx^{-m}, maka metode ini dikenal sebagai metode persamaan isobarik dan metode persamaan homogen jika v=yx^{-1}. Terlihat sebenarnya metode persamaan homogen adalah bentuk khusus dari metode persamaan isobarik, yaitu dengan m=1. Secara umum sebenarnya nilai m dapat dipilih agar persamaan differensial v mempunyai bentuk yang dapat diselesaikan dengan separable equations. Perhatikan contoh berikut.
Misalnya ingin dicari solusi persamaan differensial
x\dfrac{dy}{dx}+3x+y=0
yang dapat pula dinyatakan dalam bentuk
\frac{dy}{dx}=\frac{-3x-y}{x}
Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan langsung dengan metode pemisahan persamaan karena ruas kanan persamaan tersebut tidak dalam bentuk perkalian dua buah fungsi f(x) dan g(y). Jika misalnya digunakan variabel baru v=yx^{-m} atau y=vx^{m}, maka akan dapat
diperoleh bahwa
y=vx^{m}\to dy=x^{m}dv+vmx^{m-1}dx\to\frac{dy}{dx}=x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1}
Selanjutnya persamaan differensial tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
\begin{align*} \frac{dy}{dx} & =\frac{-3x-y}{x}\\ x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1} & =\frac{-3x-(vx^{m})}{x}\\ \Longleftrightarrow x^{m+1}\frac{dv}{dx}+vmx^{m} & =-3x-vx^{m}\\ \Longleftrightarrow\frac{dv}{dx} & =\frac{-3x-vx^{m}\left(1+m\right)}{x^{m+1}} \end{align*}
Perhatikan bahwa jika diambil nilai m=-1, maka bagian dalam kurung pada ruas kanan akan sama dengan nol dan bagian penyebut di ruas kanan akan sama dengan 1, sehingga persamaan differensial tersebut di atas akan menjadi
\frac{dv}{dx}=-3x
Terlihat bahwa dengan memilih nilai m=-1, yang berarti menggunakan variabel baru v=yx, maka akan diperoleh persaman differensial baru yang dapat diselesaikan dengan pemisahan persamaan. Solusi persamaan differensial di atas mudah diperoleh yaitu
\dfrac{dv}{dx}=-3x\to dv=-3xdx\to v=-\frac{3x^{2}}{2}+C
dan kemudian karena y=\dfrac{v}{x}, maka solusi y(x) dapat diperoleh yaitu
\begin{align*} y & =\frac{v}{x}=\frac{-\dfrac{3}{2}x^{2}+C}{x}\\ \Longleftrightarrow yx+\frac{3}{2}x^{2} & =C \end{align*}
Contoh kedua, misalnya persamaan differensial y^{2}dx+\dfrac{2}{x}dx+2xydy=0. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk
\frac{dy}{dx}=\frac{-\left(y^{2}+\dfrac{2}{x}\right)}{2xy}
Misalkan y=vx^{m}, maka
\begin{align*} \frac{dy}{dx} & =\frac{-\left(v^{2}x^{2m}+\dfrac{2}{x}\right)}{2xvx^{m}}\\ x^{m}\frac{dv}{dx}+vmx^{m-1} & =\frac{-\left(v^{2}x^{2m}+2x^{-1}\right)}{2vx^{m+1}}\\ 2vx^{m+1}x^{m}\frac{dv}{dx}+\left(2vx^{m+1}\right)\left(vmx^{m-1}\right) & =-v^{2}x^{2m}-2x^{-1}\\ 2vx^{2m+1}\frac{dv}{dx}+2v^{2}mx^{2m} & =-v^{2}x^{2m}-2x^{-1}\\ 2vx^{2m+1}\frac{dv}{dx}+v^{2}x^{2m}\left(2m+1\right) & =-\frac{2}{x}\\ \frac{dv}{dx} & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle -\frac{2}{x}}-v^{2}x^{2m}\left(2m+1\right)}{2vx^{2m+1}}} \end{align*}
Jika dipilih agar nilai \left(2m+1\right)=0 yang memberikan m=-\frac{1}{2}, maka persamaan differensial tersebut akan menjadi
\frac{dv}{dx}=\frac{-\dfrac{2}{x}}{2v}=-\frac{1}{vx}
yang berarti dapat diselesaikan dengan pemisahan persamaan
vdv=-\frac{1}{x}dx\to\frac{v^{2}}{2}=-\ln x+C\to v^{2}=-2\ln x+\mathcal{C}
atau
v=\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}}
dan karena y=vx^{m}=vx^{-1/2}, maka akan diperoleh
\begin{align*} y & =\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}}\\ \Longleftrightarrow y\sqrt{x} & =\sqrt{-2\ln x+\mathcal{C}}\\ \Longleftrightarrow y^{2}x & =-2\ln x+\mathcal{C}\\ \Longleftrightarrow y^{2}x+2\ln x & =\mathcal{C} \end{align*}
Tidak ada komentar:
Posting Komentar