Bidang Singgung dan Turunan Parsial

Suatu permukaan dalam ruang dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dua variabel yaitu $z=f(x,y)$. Bentuk lainnya bisa dituliskan dalam bentuk fungsi tiga variabel, yaitu $\phi(x,y,z)=\text{konstan}$, atau $\Phi=\phi(x,y,z)-\mathrm{C}=0$. Artinya
\[ \Phi(x,y,z)-\mathrm{C}=0 \]
Untuk memperoleh bidang singgung di salah satu titik pada permukaan tersebut dapat diperoleh dengan memanfaatkan diferensial parsial.

Tinjau suatu titik yang terletak pada permukaan, misalnya titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Turunan parsial $\left.\left({\displaystyle \frac{\partial\Phi}{\partial x}}\right)\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$ akan memberikan gradien garis singgung kurva hasil perpotongan permukaan $\Phi$ dengan bidang konstan $y=y_{0}$ di titik $x_{0}$. Sebut gradien ini sebagai $m_{x}$. Persamaan garis singgung ini dinyatakan dengan
\[ z-z_{0}=m_{x}(x-x_{0}) \]
bila dinyatakan dalam bentuk vektor, maka
\[ \vec{v_{x}}=\hat{i}+m_{x}\hat{k} \]
Demikian halnya turunan parsial $\left.\left({\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}}\right)\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}\equiv m_{y}$ akan memberikan gradien garis singgung kurva hasil perpotongan permukaan $\Phi$ dengan bidang konstan $x=x_{0}$ di titik $y_{0}$. Persamaan garis singgung ini dinyatakan dengan
\[z-z_{0}=m_{y}(y-y_{0}) \]
yang bila dinyatakan dalam bentuk vektor adalah
\[ \vec{v_{y}}=\hat{j}+m_{y}\hat{k} \]
Kedua vektor tersebut, yaitu $\vec{v_{x}}$ dan $\vec{v_{y}}$ adalah dua buah vektor yang berada pada bidang singgung pada permukaan di titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Artinya cross product kedua vektor ini akan memberikan vektor normal bidang singgung, yaitu
\begin{eqnarray*}
\vec{N} & = & \vec{v_{x}}\times\vec{v_{y}}=\left(\hat{i}+m_{x}\hat{k}\right)\times\left(\hat{j}+m_{y}\hat{k}\right)\\
 & = & \hat{k}-m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}\\
\vec{N} & = & -m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}+\hat{k}
\end{eqnarray*}
Telah diketahui persamaan bidang datar yang melalui titik $(x_{a},y_{a},z_{a})$ dan tegak lurus vektor $\vec{N}=n_{x}\hat{i}+n_{y}\hat{j}+n_{z}\hat{k}$ adalah
\[ n_{x}(x-x_{a})+n_{y}(y-y_{a})+n_{z}(z-z_{a})=0 \]
sehingga persamaan bidang datar (dalam hal ini bidang singgung) yang melalui titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dan tegak lurus vektor $\vec{N}=-m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}+\hat{k}$ adalah
\[ -m_{x}(x-x_{0})-m_{y}(y-y_{0})+(z-z_{0})=0 \]
Selanjutnya dengan mengingat bahwa $m_{x}=\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$ dan $m_{y}=\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$, maka berarti persamaan bidang singgung tersebut dapat dituliskan menjadi
\[ -(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})=0 \]
Selanjutnya perhatikan kembali bahwa $\Phi(x,y,z)-\mathrm{C}=\phi(x,y)-z-\mathrm{C}=0$, maka
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\Phi}{\partial z} & = & -1
\end{eqnarray*}
Dengan demikian persamaan bidang singgung di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk yang lebih indah
\[ -(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0 \]
atau
\[ (x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0
\]
Kemudian jika $\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0});\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{y}(x_{0},y_{0},z_{0});\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})$,
maka
\[ (x-x_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(y-y_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(z-z_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})=0 \]
Dengan demikian persamaan bidang singgung pada permukaan $\Phi(x,y,z)=\mathrm{C}$ di titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ adalah
\[ (x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0 \]