Bidang Singgung dan Turunan Parsial

Suatu permukaan dalam ruang dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dua variabel yaitu $z=f(x,y)$. Bentuk lainnya bisa dituliskan dalam bentuk fungsi tiga variabel, yaitu $\phi(x,y,z)=\text{konstan}$, atau $\Phi=\phi(x,y,z)-\mathrm{C}=0$. Artinya
$$\Phi(x,y,z)-\mathrm{C}=0$$
Untuk memperoleh bidang singgung di salah satu titik pada permukaan tersebut dapat diperoleh dengan memanfaatkan diferensial parsial.

Tinjau suatu titik yang terletak pada permukaan, misalnya titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Turunan parsial $\left.\left({\displaystyle \frac{\partial\Phi}{\partial x}}\right)\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$ akan memberikan gradien garis singgung kurva hasil perpotongan permukaan $\Phi$ dengan bidang konstan $y=y_{0}$ di titik $x_{0}$. Sebut gradien ini sebagai $m_{x}$. Persamaan garis singgung ini dinyatakan dengan
$$z-z_{0}=m_{x}(x-x_{0})$$
bila dinyatakan dalam bentuk vektor, maka
$$\vec{v_{x}}=\hat{i}+m_{x}\hat{k}$$
Demikian halnya turunan parsial $\left.\left({\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}}\right)\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}\equiv m_{y}$ akan memberikan gradien garis singgung kurva hasil perpotongan permukaan $\Phi$ dengan bidang konstan $x=x_{0}$ di titik $y_{0}$. Persamaan garis singgung ini dinyatakan dengan
$$z-z_{0}=m_{y}(y-y_{0})$$
yang bila dinyatakan dalam bentuk vektor adalah
$$\vec{v_{y}}=\hat{j}+m_{y}\hat{k}$$
Kedua vektor tersebut, yaitu $\vec{v_{x}}$ dan $\vec{v_{y}}$ adalah dua buah vektor yang berada pada bidang singgung pada permukaan di titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Artinya cross product kedua vektor ini akan memberikan vektor normal bidang singgung, yaitu
$$\begin{eqnarray*} \vec{N} & = & \vec{v_{x}}\times\vec{v_{y}}=\left(\hat{i}+m_{x}\hat{k}\right)\times\left(\hat{j}+m_{y}\hat{k}\right)\\  & = & \hat{k}-m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}\\ \vec{N} & = & -m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}+\hat{k} \end{eqnarray*}$$
Telah diketahui persamaan bidang datar yang melalui titik $(x_{a},y_{a},z_{a})$ dan tegak lurus vektor $\vec{N}=n_{x}\hat{i}+n_{y}\hat{j}+n_{z}\hat{k}$ adalah
$$n_{x}(x-x_{a})+n_{y}(y-y_{a})+n_{z}(z-z_{a})=0$$
sehingga persamaan bidang datar (dalam hal ini bidang singgung) yang melalui titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dan tegak lurus vektor $\vec{N}=-m_{x}\hat{i}-m_{y}\hat{j}+\hat{k}$ adalah
$$-m_{x}(x-x_{0})-m_{y}(y-y_{0})+(z-z_{0})=0$$
Selanjutnya dengan mengingat bahwa $m_{x}=\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$ dan $m_{y}=\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}$, maka berarti persamaan bidang singgung tersebut dapat dituliskan menjadi
$$-(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})=0$$
Selanjutnya perhatikan kembali bahwa $\Phi(x,y,z)-\mathrm{C}=\phi(x,y)-z-\mathrm{C}=0$, maka
$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial\Phi}{\partial z} & = & -1 \end{eqnarray*}$$
Dengan demikian persamaan bidang singgung di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk yang lebih indah
$$-(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}-(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0$$
atau
$$(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0$$
Kemudian jika $\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0});\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{y}(x_{0},y_{0},z_{0});\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=\Phi_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})$,
maka
$$(x-x_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(y-y_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})+(z-z_{0})\Phi_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})=0$$
Dengan demikian persamaan bidang singgung pada permukaan $\Phi(x,y,z)=\mathrm{C}$ di titik $(x_{0},y_{0},z_{0})$ adalah
$$(x-x_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(y-y_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}+(z-z_{0})\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}\right|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=0$$