Solusi fungsi radial ($R(r)$) pada persamaan Laplace dalam sistem koordinat polar (atau silinder 2D)

Persamaan Laplace pada sistem koordinat polar berbentuk sebagai berikut\[ \nabla^2 u =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0 \]
Jika digunakan metode pemisahan variabel dengan memisalkan $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$, maka akan diperoleh persamaan differensial berikut \[  \frac{r}{R}\frac{d}{dr}\left( r \frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{\Theta}\frac{d^2 \Theta}{d\theta^2} = 0 \]
Solusi untuk fungsi $\Theta(\theta)$ adalah berbentuk \[ \Theta(\theta)=\mathcal{C}_1\cos k\theta +\mathcal{C}_2 \sin k\theta \]
Sedangkan persamaan differensial untuk variabel $r$ adalah \begin{equation} \frac{r}{R}\frac{d}{dr}\left( r\frac{dR}{dr} \right) = -k^2 \label{pers-r} \end{equation}
yang dapat diselesaikan menggunakan metode Frobenius, dengan memisalkan bentuk solusinya \[ R(r)=\sum a_{n}r^{n+s} \]
Bila disubstitusikan ke persamaan \ref{pers-r}, akan diperoleh bentuk berikut\begin{eqnarray*}
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\left(n+s\right)\left(n+s-1\right)a_{n}r^{n+s}+\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\left(n+s\right)a_{n}r^{n+s}-k^{2}\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_{n}r^{n+s} & = & 0\\
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\left[\left(n+s\right)\left(n+s-1\right)+\left(n+s\right)-k^{2}\right]a_{n}r^{n+s} & = & 0
\end{eqnarray*}
Persamaan indeks diperoleh yaitu \[ s\left(s-1\right)+s-k^{2} = 0\Longrightarrow s^{2}-k^{2}=0\Rightarrow s=\pm k \]
Bila digunakan nilai $s=+k$  tersebut maka akan dapat diperoleh koefisien $a_n$ sebagai berikut
\[ a_{n}=\begin{cases} 0, & n\neq0\\ \text{sembarang }\neq0, & \text{untuk }n=0 \end{cases} \]
Sehingga solusi untuk nilai $s=k$ adalah \[ R(r)=a_{0}r^{k}\quad\text{atau }\quad R(r)=\mathcal{C}_{1}r^{k} \]
Dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk nilai $s=-k$ sehingga solusi $R(r)$ untuk nilai $s=-k$ adalah \[ R(r)=a_{0}r^{-k}\quad\text{atau }\quad R(r)=\mathcal{C}_{2}r^{-k} \]
Dengan demikian diperoleh bahwa solusi lengkap persamaan \ref{pers-r} adalah \[ R(r)=\mathcal{C}_{1}r^{k}+\mathcal{C}_{2}r^{-k} \]