6 Februari 2016

Tensor Kovarian dan Kontravarian

Misalkan terdapat dua sistem koordinat yang masing-masing dinyatakan dengan $x_{i}$ dan $x_{i}'$ dalam ruang dengan $n$ dimensi. Dalam hal ini $i=1,2,3,\ldots,n$. Sebagai ilustrasi misalnya sistem kordinat $x_{i}$ menyatakan sistem kordinat kartesian 3D (sehingga $x_{1}=x$; $x_{2}=y$ dan $x_{3}=z$) sedangkan sistem kordinat $x_{i}'$ menyatakan sistem kordinat bola (sehingga $x_{1}=r$; $x_{2}=\theta$ dan $x_{3}=\phi$). Umumnya akan dapat dinyatakan transformasi antara kedua sistem kordinat tersebut yang dapat dituliskan dalam bentuk ungkapan berikut \begin{equation} x_{i}'=x_{i}'(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})\label{eq:transformasi1} \end{equation} yang menyatakan hubungan antara variabel-variabel dalam sistem kordinat $x_{i}'$ dinyatakan dalam variabel-variabel dalam sistem kordinat $x_{i}$. Sebaliknya hubungan antara variabel-variabel dalam sistem kordinat $x_{i}$ dinyatakan dengan variabel-variabel dalam sistem kordinat $x_{i}'$ dapat diperoleh dari invers transformasi tersebut (persamaan \ref{eq:transformasi1}) dan secara umum dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut \begin{equation} x_{i}=x_{i}(x_{1}',x_{2}',x_{3}',\ldots,x_{n}')\label{eq:transformasi2} \end{equation} Selanjutnya jika terdapat suatu besaran fungsi sembarang $f$ yang merupakan fungsi dari variabel-variabel kordinat $x_{j}$, maka komponen gradien fungsi tersebut dalam sistem kordinat $x_{i}'$ dapat diperoleh dengan mengingat turunan parsial (aturan rantai), yaitu \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x_{i}'}=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{i}'}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{i}'}+\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{i}'}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{i}'}=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}'}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\label{eq:transformasi3} \end{equation} terlihat bahwa transformasi yang terjadi direpresentasikan dalam bentuk turunan parsial variabel dalam sistem kordinat lama (tanpa tanda aksen) terhadap variabel dalam sistem kordinat baru (dengan tanda aksen).

Bentuk yang agak sedikit berbeda muncul manakala ditinjau turunan dari variabel sistem kordinat baru. Karena $x_{i}'=x_{i}'(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})$ maka diferensial dari variabel $x_{i}'$ dapat diperoleh sebagai berikut \begin{equation} dx_{i}'=\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{2}}dx_{2}+\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{3}}dx_{3}+\ldots+\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{n}}dx_{n}=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{j}}dx_{j}\label{eq:transformasi4} \end{equation} terlihat bahwa transformasi tersebut direpresentasikan dalam bentuk turunan parsial variabel dalam sistem kordinat baru (dengan tanda aksen) terhadap variabel dalam sistem kordinat lama (tanpa tanda aksen).

Vektor (atau secara umum tensor) yang komponennya bertransformasi seperti halnya transformai gradien (persamaan \ref{eq:transformasi3}) dinamakan tensor kovarian (covariant tensor), yaitu \[ V_{i}'=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}'}V_{j}\qquad\qquad\text{(covariant tensor)} \] sedangkan vektor (atau secara umum tensor) yang komponennya bertransformasi seperti halnya transformasi diferensial suatu variabel (persamaan \ref{eq:transformasi4}) dinamakan tensor kontravarian (contravariant tensor). Untuk membedakan penulisan dengan tensor kovarian, biasanya tensor kontra varian dituliskan dengan indeks di atas, yaitu \[V^{i}{}'=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{\partial x_{i}'}{\partial x_{j}}V^{j}\qquad\qquad\text{(contravariant tensor)}\]

2 komentar:

randika alditia mengatakan...

terimakasih mas penjelasan nya sangat membantu

Khairul Basar mengatakan...

Sama-sama, terima kasih atas kunjungannya. Semoga sukses