Kuliah yang saya ampu pada Semester 2 2024-2025 adalah:
Kegiatan akademik Semester 2 2024-2025 dimulai pada Senin 17 Februari 2025
Salah satu cara menyelesaikan (mencari solusi umum) persamaan differensial biasa orde 2 (PDBO2) adalah dengan metode Reduksi (pengurangan) Orde. Dalam metode ini, suatu PDBO2 dikurangi ordenya menjadi PDBO1 melalui substitusi. Setelah diperoleh PDBO1, solusi umumnya dapat diperoleh melalui metode-metode yang telah dikenal untuk menyelesaikan PDBO1 (misalnya pemisahan persamaan). Untuk menerapkan metode reduksi orde dalam mencari solusi umum PDBO2, harus diketahui dulu salah satu solusi khusus.
Tinjau suatu persamaan differensial biasa orde 2:
\[y''+ \alpha (t) y' + \beta (t) y=0 \]
dengan $\alpha (t)$ dan $\beta (t)$ adalah fungsi dengan variabel $t$, sedangkan $y'$ dan $y''$ masing-masing menyatakan turunan pertama dan kedua fungsi $y(t)$. Misalkan telah diperoleh solusi khusus PDBO2 tersebut yaitu $y_1 (t)$. Hal ini berarti $y_1 (t)$ memenuhi persamaan differensial tersebut, dan dapat dinyatakan
\[y_1 '' + \alpha (t) y_1 ' + \beta (t) y = 0 \]
Solusi umum PDBO2 tersebut dapat diperoleh dalam bentuk perkalian suatu fungsi $f(t)$ dengan solusi khusus yang telah diperoleh tersebut. Ini berarti solusi umum yang hendak diperoleh adalah
\[ y (t)=y_1 (t) f(t) \]
Dengan bentuk $y(t)$ seperti itu, maka akan dapat diperoleh turunan pertama dan kedua, yaitu
\[ y' = y_1 ' f + y_1 f ' \]
\[ y''=y_1 '' f + 2 y_1 ' f ' + y_1 f '' \]
yang bila disubstitusi ke PDBO2 akan memberikan
\begin{align*} (y_1 '' f + 2 y_1 ' f' + y_1 f'') + \alpha (y_1 ' f + y_1 f') + \beta (y_1 f) &= 0 \\ \Longleftrightarrow f (y_1 '' + \alpha y_1 + \beta y_1) + f' (2 y_1 ' + \alpha y_1) + f'' (y_1) &= 0 \end{align*}
Karena telah diketahui bahwa $y_1$ adalah solusi dari PDBO2, maka $(y_1 '' + \alpha y_1 ' + \beta y_1) = 0$, sehingga persamaan differensial di atas dapat dituliskan lagi menjadi
$$ f' (2 y_1 ' + \alpha y_1) + f'' (y_1) = 0 $$
kemudian dengan memisalkan $f' = df/dt \equiv w$ yang berarti $f''=w'$, maka persamaan differensial tersebut di atas dapat dituliskan menjadi PDBO1, yaitu
$$ w (2 y_1 ' + \alpha y_1) + w' (y_1) = 0 $$
PDBO1 tersebut dapat diselesaikan dengan pemisahan persamaan
\begin{align*} w (2 y_1 ' + \alpha y_1) + w' (y_1) &= 0 \\ w' + w (2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha) &=0 \\ \frac{dw}{dt} + w (2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha) &= 0 \\ \frac{dw}{w} &= -(2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha ) d t \\ \ln w &= - \int (2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha ) d t + C \\ w &= K \exp (- \int (2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha ) dt) \end{align*}
Selanjutnya dengan mengingat $w = \dfrac{df}{dt}$, maka dapat diperoleh $ f = \int w dt$. Terakhir, solusi umum PDBO2 yang dimaksud adalah perkalian antara $y_1(t)$ dengan $f(t)$ yang telah diperoleh tersebut.
Ingin dicari solusi umum PDBO2 berikut:
$$ y'' + \frac{k}{m} t y' + \frac{k}{m} y = 0$$
Solusi khusus yang memenuhi PDBO2 tersebut misalnya berbentuk
$$ y_1 = \exp(- \frac{kt^2}{2m}$$
yang dapat ditunjukkan bahwa $y_1$ memenuhi PDBO2 tersebut.
\begin{align*} y_1 &= \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) \\ y_1 ' &= - \frac{kt}{m}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) \\ y_1 '' &= - \frac{k}{m}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) + \left(- \frac{kt}{m}\right) \left[- \frac{kt}{m}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right)\right] \\ &= \frac{k^2 t^2}{m^2}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) - \frac{k}{m}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) \end{align*}
\begin{align*} y_1 '' + \frac{k}{m} t y_1 ' + \frac{k}{m} y_1 &= \left[\frac{k^2 t^2}{m^2} \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) - \frac{k}{m} \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) + \left(- \frac{k^2 t^2}{m^2} \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right)\right) + \frac{k}{m}\exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right)\right] \\ & = 0 \end{align*}
Dalam hal ini $\alpha = \dfrac{k}{m}t$ sedangkan $\beta = \dfrac{k}{m}$. Selanjutnya akan dapat diperoleh
\begin{align*} w &= K \exp\left(- \int (2 \frac{y_1 '}{y_1} + \alpha ) dt \right) \\ &= K \exp\left(- \int (-2 \frac{kt}{m} + \frac{kt}{m}) dt \right) \\ &= K \exp\left(- \int \frac{kt}{m} dt \right) \\ &= K \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) \end{align*}
Selanjutnya
\begin{align*} f &= \int K_1 \exp\left(-\frac{kt^2}{2m}\right) dt + K_2 \\ & = K_1 \left[\int K_1 \exp\left(-\frac{kt^2}{2m} \right) dt \right] + K_2 \end{align*}
Sehingga solusi umum PDBO2 tersebut adalah
\begin{align*} y(t) &= y_1 (t) f(t) \\ &= \exp\left(- \frac{kt^2}{2m}\right) \left[K_1 \left[\int K_1 \exp\left(-\frac{kt^2}{2m}\right) dt \right] + K_2 \right] \end{align*}
Kuliah yang saya ampu pada Semester 1 2024-2025 adalah:
Kegiatan akademik Semester 1 2024-2025 dimulai pada Senin 09 September 2024.
